«Риу-Аве» основан 18 января 1939 года в Вила-ду-Конде, прибрежном городке на севере Португалии, чуть более чем в двадцати километрах от Порту. Его создала группа из пяти человек, а название клуб получил от реки Аве, которая протекает через город и впадает здесь в Атлантический океан. Первый матч он сыграл 6 мая 1939 года в Бейрисе и проиграл местной команде. Следующие десятилетия клуб играл на региональном уровне, а с 1970-х годов начал подниматься по футбольной пирамиде. Для болельщиков это «Риу-Гранде», то есть «Большая река», хотя клуб всегда жил скромно, а его цвета зелёный и белый.
В Примейру «Риу-Аве» поднялся только в 1979 году, через сорок лет после основания, и после первого сезона вылетел. Переломным стали 1980-е годы, когда тренером стал Феликс Моуринью, отец Жозе Моуринью, также работавшего в клубе. Под его руководством «Риу-Аве» занял в сезоне 1981/82 пятое место в чемпионате, что десятилетиями оставалось лучшим результатом в его истории. Приближался и момент, который клуб запомнил навсегда.
В 1984 году «Риу-Аве» вопреки всем прогнозам сыграл в финале Кубка Португалии на стадионе «Жамор». По пути он обыграл, среди прочих, местного соперника «Варзим» в 1/8 финала после серии пенальти. В финале он встретился с «Порту» и проиграл 1:4. Образ того матча запомнился и по другой причине: игроки «Риу-Аве» вышли на поле с густыми бородами, и «бородачи из Вила-ду-Конде» стали одним из символов той эпохи португальского футбола. Через сезон клуб вылетел из лиги.
В 1990-е годы и в начале XXI века «Риу-Аве» несколько раз выигрывал второй дивизион, в сезонах 1995/96 и 2002/03, и каждый раз возвращался в элиту. Со сменой поколений футболистов клуб создавал себе имя как место, где шлифуются молодые таланты. Через него прошли, среди прочих, вратарь Ян Облак, полузащитник Фабиньо и нападающий Мехди Тареми, а на тренерской скамье вырос Нуну Эшпириту Санту.
Кульминацией стал сезон 2013/14. Под руководством Нуну «Риу-Аве» дошёл до двух финалов за один сезон: Кубка Португалии и Кубка лиги. В финале Кубка Португалии клуб проиграл «Бенфике» 0:1, но этот результат принёс ему первое в истории участие в европейских кубках. В Лиге Европы 2014/15 под руководством Педру Мартинша «Риу-Аве» выбил шведские клубы «Гётеборг» и «Эльфсборг», пробившись в групповой этап, а в ответном матче с «Эльфсборгом» забил победный гол в добавленное время.
Следующие годы принесли два пятых места в чемпионате, в сезонах 2017/18 и 2019/20, и ещё один памятный европейский вечер. В 2020 году в стыковом матче Лиги Европы «Риу-Аве» сыграл дома вничью 2:2 с «Миланом» и проиграл серию пенальти 8:9, одну из самых длинных в истории европейских турниров. Вскоре клуб вылетел из Примейры, но в сезоне 2021/22 выиграл второй дивизион и вернулся на высший уровень. Этот ритм падений и возвращений, в сущности, его фирменный знак.
Домашней ареной клуба служит «Эштадиу душ Аркуш», официально «Эштадиу ду Риу-Аве», построенный в 1984 году, в год самого знаменитого финала. Его название происходит от акведука XVIII века в Вила-ду-Конде, арки которого возвышаются прямо рядом с полем. Стадион стал символом клуба, который, несмотря на небольшие размеры города, сумел бросить вызов самым сильным и вписать своё имя в историю европейских турниров.